Описание движения мобильного робота

Мобильный робот перемещается для решения тех или иных задач, получает данные с внешних датчиков, и должен постоянно обрабатывать информацию, чтобы управлять своим движением. Все эти процессы происходят непрерывно и тесно взаимосвязаны друг с другом. Сегодня речь пойдет об основных конфигурациях колесных роботов и том, как математически описываются их перемещения. Этот материал поможет выбрать колесную конфигурацию для своего мобильного робота.

Мобильные роботы могут перемещаться в различных средах: в водной, воздушной, по земле, в космосе. И движение в каждой среде имеет свои особенности, связанные с их различными физическими свойствами.

В этой публикации я рассмотрю колесных роботов, которые способны перемещаться по достаточно плоским поверхностям.

При разработке системы перемещения робота необходимо учитывать следующие моменты:

скорость или ускорение движения
точность позиционирования (повторяемость)
гибкость и робастность (надежность) при различных условиях
эффективность (низкое энергопотребление)

Система координат

Для того чтобы математически описать движение мобильного робота нам потребуется определить системы координат. Я введу две системы координат — мировую систему координат W (буду считать что он неподвижна в пространстве), и система координат робота R, которая перемещается в пространстве и остается неподвижной относительно самого робота.

Нам необходимо определить местоположение робота, то есть мы хотим знать, как преобразовывать координаты между W и R.

Степени свободы движения

Число степеней свободы определяет минимальное количество независимых переменных (обобщённых координат), необходимых для полного описания движения механической системы.

Твердое тело, которое перемещается и вращается двигаясь по одномерному пути имеет одну степень свободы — поступательную. В качестве примера можно привезти поезд, движущийся по рельсам.

Твердое тело, которое перемещается и вращается на плоскости имеет 3 степени свободы: 2 поступательных и 1 вращательную. Пример: наземный робот.

Твердое тело, которое перемещается и вращается в 3D-объеме имеет 6 степеней свободы: 3 поступательных и 3 вращательных. Пример: летающий робот.

Особый случай — это так называемый голономный робот, который способен перемещаться мгновенно в любом направлении в пространстве его степеней свободы (робот является голономным если число управляемых степеней свободы равно полному числу степеней свободы). Голономные роботы существуют, но требуют множество моторов и необычный конструктив, что зачастую очень непрактично. Однако, наземные голономные роботы могут быть реализованы с использованием всенаправленных колес (omni-wheels).

На видео показан пример четырехколесного робота со всенаправленными колесами.

Конфигурации колесных роботов

Существует множество различных конфигураций мобильных роботов.

Есть те, которые применяются реже, например, двухколесная платформа сигвей (segway) с динамическим балансом обладает хорошей высотой при малой площади и достаточно большим ускорением.

Или марсоход Opportunity, который имеет колеса на штангах для преодоления больших препятсвий.

Но чаще применяются другие типы конфигураций.

Это простые, надежные, прочные механизмы, пригодные для роботов, которые в основном передвигаются по плоскости.

Все эти роботы неголономны (используется два двигателя, но три степени свободы движения). Например, автомобилеподобный робот не может мгновенно двигаться в сторону.

Робот с дифференциальным приводом

Такая конфигурация используется в роботах-пылесосах.

Робот с дифференциальным приводом имеет два мотора, по одному на каждое колесо (на рисунке — это большие колеса). Изменение направления движения достигается за счет разных скоростей (отсюда и название — дифференциальный).

Для прямолинейного движения колеса должны вращаться с одинаковыми скоростями.
Для того, чтобы робот развернулся на месте, необходимо установить скорости одинаковыми по модулю, но направленными противоположно.
Другие комбинации скоростей приводят к движению по дуге

криволинейный путь робота с дифференциальным приводом — Движение по дуге

Обозначим скорости колес (линейные скорости с которыми они «покрывают» поверхность) $V_L$ и $V_R$ - для левого и правого колес, соответственно, и $W$ расстояние между колесами.

Прямолинейное движение, если $V_L = V_R$
Разворот на месте, если $V_L = - V_R$
В более общем случае — движение по дуге

Для того, чтобы найти радиус $R$ криволинейного пути, рассмотрим период движения $\Delta t$ , в течении которого робот движется вдоль дуги окружности, имеющей угол $\Delta \theta$ .

Левое колесо: пройденное расстояние = $V_L \Delta t$ ; радиус дуги = $R - \frac{W}{2}$
Правое колесо: пройденное расстояние = $V_R \Delta t$ ; радиус дуги = $R - \frac{W}{2}$
Обе колесные дуги имеют в основании один и тот же угол $\Delta \theta$

$\Delta\theta = \frac{V_L\Delta t}{R-\frac{W}{2}} = \frac{V_R \Delta t}{R + \frac{W}{2}}$

$\Rightarrow \frac{W}{2} (V_L+V_R) = R(V_R - V_L)$

$\Rightarrow R = \frac{W(V_R+V_L)}{2(V_R-V_L}~~~~~ \Delta\theta = \frac{(V_R-V_L)\Delta t}{W}$

Автомобиль/Трицикл/Реечно-зубчатый привод

Такой тип роботов имеет два мотора — один для движения, другой для рулежки.

Не может нормально развернуться на месте.
При постоянной скорости и угле поворота движется по дуге окружности.
В четырехколесной схеме необходим задний дифференциал и переменная связь («Принцип Аккермана») на рулевые колеса.

Круговой путь автомобилеподобного трехколесного робота — Круговое движение трехколесного робота

При условии, что отсутствует боковая пробуксовка колес, пересечем оси передних и задних колес, чтобы сформировать прямоугольный треугольник, и в результате получим:

$R = \frac{L}{\tan s}$

Радиус траектории, которую описывают задние колеса:

$R_d = \frac{L}{\sin s}$

За время $\Delta t$ расстояние вдоль этой дуги окружности, пройденное приводными колесами равно $v\Delta t$ , поэтому угол $\Delta \theta$ на который повернется робот:

$\Delta \theta = \frac{V\Delta t}{R_d} = \frac{V \Delta t \sin s}{L}$

$R = \frac{L}{\tan s}~~~~\Delta \theta = \frac{V \Delta t\sin s}{L}$

Зубчатая передача

Двигатели постоянного тока, как правило, обладают высокой скоростью вращения и низким крутящим момент, поэтому зубчатая передача практически всегда необходима для управления роботом.

Если Передача 1 имеет крутящий момент $t_1$ , она оказывает тангенциальную силу

$F = \frac{t_1}{r_1}$

на Передачу 2. Крутящий момент Передачи 2 поэтому

$t_2 = r_2F = \frac{r_2}{r_1}t_1$

Изменение угловой скорости между Передачей 1 и Передачей 2 вычислим, рассмотрев скорость в точке где они соприкасаются:

$V = \omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$

$\Rightarrow \omega_2 = \frac{r_1}{r_2}\omega_1$

Когда маленькая шестерня приводит в движение большую, второе зубчатое колесо будет иметь более высокий крутящий момент и меньшую угловую скорость пропорционально соотношению зубьев.
Для достижения комбинированного воздействия шестерни можно объединять в цепочки.

Оценка движения c помощью датчиков

Очень часто, робот оценивает свое движение путем мониторинга собственных датчиков. Это может быть, например напряжение электродвигателя и колесные датчики. Эта информация называется одометрией.

Например, на основе очень простой оценки:

$D=KV\Delta t$

Пройденное расстояние пропорционально напряжению и времени. Здесь $K$ является расчетной константой (используя знания электричества и геометрии), но также может быть получена в результате калибровки.

Калибровка включает экспериментальное перемещение робота и сравнение фактического значения пройденного расстояния, со значением, полученным в результате теоретической оценки. Отношение фактического к теоретическому значениям и является коэффициентом калибровки.
Если при повторных испытаниях будет наблюдаться расхождения в полученных значениях, мы можем повысить точность путем изменения значения констант в наших выражений (таких как $K$ ), а затем повторить процесс.

Энкодеры дают большую точность измерения числа оборотов колес. Информация с энкодера может быть преобразована в линейное расстояние умножением на постоянный радиус колеса. Но все же, как правило, для большей точности, все равно проводится калибровка.

Движение и состояние робота для плоскости

Если предположить, что робот ограничивается перемещением на плоскости, его местоположение может быть определено вектором состояния $X$ , состоящем из трех параметров:

$X = \left(\begin{array}{c}x \\ y \\ \theta \end{array}\right)$

$x$ и $y$ определяют местоположение предопределенной точки «центра робота» в мировой системе координат.

$\theta$ определяет угол поворота между системами координат (угол между осями $x^W$ и $x^R$ ).

Две системы координат совпадают в момент, когда центр робота находится в начале координат и $x = y = \theta = 0$ .

Интегральное движение на плоскости

Получая перемещения робота в некоторые моменты времени, мы можем найти весь путь, пройденный роботом, просуммировав эти значения, или перейдя к пределу (при стремлении количества измерений $\rightarrow \infty$ ) — путем их интегрирования.

При движении на плоскости мы имеем три степени свободы для определения положения, представленные $(x, y, \theta)$ при $\pi < \theta \le \pi$ .

Рассмотрим робота, который может только двигаться вперед или поворачиваться на месте:

При прямолинейном движении робота на расстояние $D$ новое состояние будет выражено как:

$\left(\begin{array}{c}x_{new} \\ y_{new} \\ \theta_{new} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x + D \cos \theta\\ y + D \sin \theta \\ \theta \end{array}\right)$

Если присутствует только вращательное движение, при повороте на угол $\alpha$ :

$\left(\begin{array}{c}x_{new} \\ y_{new} \\ \theta_{new} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x \\ y \\ \theta + \alpha \end{array}\right)$

Оценка кругового 2D движения

Для случаев и дифференциального и трехколесного роботов мы можем получить выражения для $R$ и $\Delta \theta$ для случая когда присутствует только движение по дуге окружности:

$\left(\begin{array}{c}x_{new} \\ y_{new} \\ \theta_{new} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x + R(\sin(\Delta \theta + \theta) - \sin \theta) \\ y - R(\cos(\Delta \theta + \theta) - \cos \theta) \\ \theta + \Delta \theta \end{array}\right)$

Планирование маршрута

Если предположить, что роботу известно местоположение, и как оно относится к мировой системе координат, то планирование маршрута на основе его местоположения позволит ему двигаться по точному пути вдоль последовательности заранее определенных точек. Различные криволинейные траектории могут быть спланированы, с оптимизацией таких критериев, как время движения по маршруту или потребление энергии. Здесь я рассмотрю конкретный, достаточно простой случай, предполагая, что:

Движение робота состоит из прямолинейных отрезков отдельно от разворотов на месте.
Робот стремится свести к минимуму общее пройденное расстояние, так что он всегда сразу поворачивается лицом к следующей точке и едет прямо к ней.

На первом шаге планирования маршрута, предположим, что текущее положение робота $(x, y, \theta)$ и следующей точкой маршрута является $(W_x, W_y)$ .

Сначала робот должен повернуться к указанной точке. Вектор направления должен указывать на:

$\left(\begin{array}{c}d_x \\ d_y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}W_x - x \\ W_y - y \end{array}\right)$

Значение абсолютного значения угла в градусах $\alpha$ в который робот должен повернуться:

$\alpha = \tan^{-1}\frac{d_y}{d_x}$

Необходимо убедиться, что $\alpha$ находится в правильном квадранте, в промежутке $-\pi < \alpha \le \frac{\pi}{2}$ .

Робот уже повернут на определенный угол, поэтому угол на который он должен повернуться $\beta = \alpha - \theta$ . Чтобы робот двигался наиболее эффективно, нужно сдвинуть угол, добавив или вычитая $2\pi$ , чтобы $-\pi < \beta \le \pi$ .
После этого, робот должен двигаться по прямой на расстояние $d = \sqrt{d_x^2 + d_y^2}$ .

[add_ratings]

2 thoughts on “Описание движения мобильного робота”

Юрий:
27.01.2016 в 14:06
На роботе-танке есть компас, датчики вращения колес и блютус связь с компьютером (плюс датчики препятствий и микроконтроллер). Задача- отобразить на экране переданный от робота маршрут движения по лабиринту.
Пожалуйста посоветуйте:
1-какую программу применить для графического отображения пакета данных
(азимут + число оборотов колеса)? Лучше в процессе движения ,в крайнем
случае — таблица в конечной точке маршрута.
2-как передать данные со входного порта компьютера в эту программу?
Заранее благодарен.
Юрий
Ответить
1. Андрей Антонов:
  27.01.2016 в 19:21
  Юрий, здравствуйте!
  Самый простой способ визуализировать данные — использовать встроенный в Arduino IDE инструмент Serial Plotter. Для рисования траектории и визуализации каких-то дополнительных параметров придется писать самописную программку. Простенький язык специально предназначенный для подобных задач называется Processing. Есть видео.
  Hello world! на Processing.
  Также для реализации коммуникации между микроконтроллером и ПО, которое запущено на компьютере существует специальный протокол Firmata.
  Ответить