Основные понятия в электроизмерениях

Не всегда для проведения измерений требуется только правильно подключить измерительный прибор. Очень важно ответить себе на вопрос: зачем я это измеряю? Для измерения тока при проверке выделения тепла в проводе требуется один параметр, для измерения тока, чтобы определить уровень заряда конденсатора или батареи — совсем другой.

Параметры могут быть выражены в виде средней величины, среднеквадратического значения (RMS, Root Mean Square), мгновенного или пикового значения. Важен не только тип нагрузки, но также, имеем мы дело с переменным или постоянным током и как выглядит форма напряжения и тока. Тесно связаными с понятиями напряжения и тока являются мощность и энергия.

Мгновенные значения

Мгновенные ток $i$ , напряжение $v$ и мощность $p$ — это значения, соответствующие конкретному моменту времени $t$ . Любой сигнал состоит из бесконечного числа мгновенных значений. В случае с напряжением это записывается как $v(t)$ .

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединененных резистора и катушки индуктивности, подключенных к источнику синусоидального напряжения с пиковым напряжением $3B$ и частотой $f=50$ Гц.

Синусоидальное напряжение, как функцию времени, в этом случае, можно записать как:

(1) $\begin{equation*}v(t)=3B\cdot sin(2\pi f t)\end{equation*}$

Ток имеет максимальное значение $2A$ и сдвинут на $\frac{\pi}{3}$ по отношению к напряжению:

(2) $\begin{equation*}i(t)=2A\cdot sin(-\frac{\pi}{3} +2 \pi f t)\end{equation*}$

Мощность, как функция времени, представляет собой соответствующие мгновенные значения напряжения и тока:

(3) $\begin{equation*}p(t)=v(t) \cdot i(t)\end{equation*}$

На рисунке ниже представлены графики напряжения, тока и мощности.

Для примера линией серого цвета показаны мгновенные значения для момента времени $t=4.2$ мс:

v (4.2) = 2.906 В

i (4.2) = 0.538 А

p (4.2) = 1.563 Вт

В определенный момент времени, мгновенные напряжение и ток всегда можно умножить, рассчитав мгновенную мощность.

Напряжение, ток и мощность как функции времени

Средние значения

Средние значения — это наиболее часто часто используемые параметры.

Если мультиметр устанавливается для измерения значений на постоянном токе, измеряются средние значения напряжения и тока. Кроме того, если мультиметр работает в режиме измерений постоянного тока, то для сигналов на переменном токе также будут измерены средние значения напряжения или тока. В случае симметричного переменного напряжения, мультиметр покажет $0B$ , что является правильным значением.

Напряжение и ток

Среднее значение является суммой всех произведений мгновенных значений $х$ , деленное на число произведенных измерений. Если измерения производятся бесконечное число раз, то мы можем перейти к пределу, в котором промежуток времени измерения → 0 и сумма превратится в интеграл. В общем виде:

(4) $\begin{equation*}x_{cp}=\frac{1}{T} \int\limits_0^Tx(t)dt\end{equation*}$

Для напряжения мы получим:

(5) $\begin{equation*}v_{cp}=\frac{1}{T} \int\limits_0^Tv(t)dt\end{equation*}$

Мультиметр

Как упоминалось ранее, мультиметр, переведонный в режим измерений на постоянном токе, измеряет среднее значение напряжения или тока. В цифровых приборах, это среднее получается с помощью RC-фильтра. Входной сигнал непрерывно усредняется по постоянной времени $=R\cdot C$ . В виде формулы:

(6) $\begin{equation*}v_{cp}(t)=\int\limits_0^t\frac{v(t-x) e^{\frac{-x}{R \cdot C}}}{R\cdot C}dx\end{equation*}$

Усреднение напряжений RC-фильтром — Усреднение напряжения RC-фильтром

Энергия и мощность

Уравнение (3) показывает, что результатом произведения мгновенного напряжения и тока является мгновенная мощность $p(t)$ . Если просуммировать мгновенную мощность, умноженную на бесконечно малое время $dt$ , то результатом будет энергия. Так как $t=0c$ :

(7) $\begin{equation*}e(t)=\int\limits_0^t p(t)dt\end{equation*}$

Действительно, энергия есть мощность, умноженная на время: $E =P\cdot t$ , и энергетические пакеты можно всегда сложить для расчета полной энергии.

В качестве примера, опять возьмем последовательное соединение катушки индуктивности и резистора. На рисунке ниже черной линией показана динамика энергии во времени, рассчитанная в соответствии с уравнением (7).

Кривая мощности в случае напряжения и тока переменной полярности, также имеет периодическое изменение амплитуды с удвоенной частотой. Поскольку энергия рассеивается на сопротивлении, область серого цвета положительных значений кривой мощности больше, чем отрицательной области.

Значение энергии (черная линия) в любой момент времени равно площади под кривой мощности до этого момента. Хорошо видно, что энергия периодически возрастает сильнее, чем падает в результате амплитудной асимметрии кривой мощности относительно оси $x$ .

На рисунке показан период времени $T$ . Энергия внутри этого временного интервала $(0 \dots T)$ , которая поступила в систему обозначена $E_{per}$ и вычисляется следующим образом:

(8) $\begin{equation*}E(T) = \int\limits_0^T p(t)dt\end{equation*}$

Средняя мощность за определенный период времени равна общему количеству энергии, за это время, деленному на время измерений:

(9) $\begin{equation*}P_{cp}=\frac{E}{T}\end{equation*}$

Если это подставить в уравнение (8), среднюю мощность можно вычислить для любой формы сигнала.

(10) $\begin{equation*}P_{cp}=\frac{1}{T}\int\limits_0^T p(t)dt\end{equation*}$

Это уравнение получено в соответствии с (4). Активная мощность всегда является средней мощностью.

Это уравнение для расчета средней рассеиваемой мощности всегда справедливо, потому что расчет основан на мгновенных значениях. Не имеет значения, является ток постоянным или переменным, как выглядит форма напряжения и тока и есть ли сдвиг фаз между напряжением и током.

Уравнение для расчета средней мощности лежит в основе метода, применяемого в измерителях мощности. Счетчики электроэнергии дома и на предприятиях работают в соответствии с уравнением (8), которое можно переписать в виде:

(11) $\begin{equation*}E=\int\limits_0^Tv(t) i(t) dt\end{equation*}$

Верхний предел в интеграле $T$ — момент времени, в который счетчик энергии считывает значение.

Эффективные (RMS) значения

Среднеквадратическим (RMS), или эффективным значением является значение напряжения или тока, при котором на нагрузке рассеивается та же мощность, что и при постоянном напряжении или токе.
При переменном напряжении с эффективным значением 230В будет выделяться такое же количество тепла на нагрузке, как и при постоянном напряжении 230В. Действующее значение относится только к выделению тепла на резистивной нагрузке. Для примера, значение RMS тока полезно для измерения напряжения под нагрузкой в проводе (= резистивная), но не для измерения зарядного тока батареи или конденсатора (= поток электронов).

Среднеквадратическое значение

RMS является аббревиатурой от Root Mean Square, что буквально переводится как среднеквадратическое значение.

Над напряжением или током, как функциями времени, для вычисления значения RMS последовательно проводятся три математические операции: возведение в квадрат, усреднение и извлечение квадратного корня. Почему так?

Мощность, выделяемая на резисторе, подключенным к источнику напряжения:

(12) $\begin{equation*}P=\frac{V^2}{R}\]\end{equation*}$

Для мгновенных мощности и напряжения:

(13) $\begin{equation*}p=\frac{v^2}{R}\end{equation*}$

Вычисление средней мощности как функции времени показано в (10). $p(t)$ можем подстваить из (13):

(14) $\begin{equation*}P_{cp}=\frac{1}{T}\int\limits_0^T \frac{v(t)^2}{R} dt\end{equation*}$

Так как $R$ — константа, то ее можно вынести за интеграл:

(15) $\begin{equation*}P_{cp}=\frac{1}{T \cdot R} \int\limits_0^T v(t)^2 dt\end{equation*}$

Перенеся напряжение в уравнении (12) в левую часть, мы можем расчитать напряжение по средней мощности и сопротивлению:

(16) $\begin{equation*}V_{RMS}=\sqrt{P_{cp} \cdot R}\end{equation*}$

Затем, вычисленную среднюю мощность из (15), подставим в уравнение (16):

(17) $\begin{equation*}V_{RMS}=\sqrt{\frac{1 \cdot R}{T \cdot R}\int\limits_0^T v(t)^2 dt}\end{equation*}$

Сократив значения сопротивлений $R$ , получим:

(18) $\begin{equation*}V_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits_0^T v(t)^2 dt}\end{equation*}$

Хорошо видно, что это уравнение состоит из трех частей: квадрата $v(t)^2$ , среднего и квадратного корня.

В приведенных выше выкладках вычислялось значение напряжения на резисторе. Аналогично можно сделать и для тока через резистор:

(19) $\begin{equation*}I_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits_0^T i(t)^2 dt}\end{equation*}$

Большинство мультиметров не может вычислить эффективное значение измеряемого напряжения. Чтобы узнать среднеквадратическое значение, обычно необходим специальный прибор.

На рисунке ниже показано, как вычисляет измеряемое напряжение прибор True RMS (истинные среднеквадратические значения). True RMS прибор, на практике, использует несколько иной метод работы, в котором необходим только один умножитель. Аналоговые умножители должны иметь очень низкий температурный дрейф и смещение, что делает эти инструменты достаточно дорогими.

Схема аналогового вычисления RMS — Аналоговая схема получения RMS-значений

Кроме того, можно сделать расчет RMS программным путем с последовательных цифровых значений измеряемых напряжений. Этот подход обычно используется в мультиметрах и цифровых осциллографах.

Псевдо RMS

Большинство мультиметров не измеряет RMS-значений, когда выбран режим переменного тока. Тем не менее, они, кажется, дают эффективные значения при измерениях переменных напряжений и токов. Но отображаемые значения действительны только при измерениях синусоидального сигнала.

Простой прибор сначала выпрямляет измеряемый сигнал. Затем RC-фильтр нижних частот выделяет среднее значение, которое масштабируется таким образом, что прибор показывает эффективное значение. В виде уравнения:

(20) $\begin{equation*}P_{pseudoRMS}=\frac{1.11}{T}\int\limits_0^T |v(t)| dt\end{equation*}$

Недостатком такого подхода является то, что это подходит только для синусоидальных сигналов. Для любой другой формы сигнала будет получено ошибочное эффективное значение.

Номинальная мощность?

Особенно в аудиотехнике широко используется термин «Номинальная мощность» или $P_{RMS}$ . Это по определению ошибочный термин.

Чуть выше, говоря про энергию и мощность, показано, что рабочая мощность рассчитывается из общего количества энергии, деленного на время за которое эта энергия измеряется, см. уравнение (9). Полная энергия определяется путем суммирования всех мгновенный пакетов энергии $v(t) i(Т) dt$ , см. уравнение (11). Это единственно правильный путь для расчета активной мощности.

Как выше указано, эффективное значение эквивалентно постоянному напряжению или току, при которых выделится такая же мощность на том же сопротивлении. Этот показатель рассчитывается как квадратный корень из среднего значения квадрата мгновенного напряжения (или тока). Нет причин думать, что эти три математические операции должны производиться для мгновенной мощности. Это было бы бессмысленное значение.

Чтобы проиллюстрировать это, приведу расчет для синусоидального напряжения с амплитудой $V_{amp}=2$ В и частотой 1кГц.

Для представленного ниже графика сопротивление нагрузки $R=4$ Ом.

Во-первых, вычислим эффективное напряжение для временной функции $v(t)$ . В результате, имеем хорошо известное уравнение:

$V_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits_0^T v(t)^2 dt} = \frac{V_{amp}}{\sqrt{2}}=0.707B$

Далее, вычислим среднеквадратическое значение тока как функции времени $i(t)$ . Оно равно:

$I_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits_0^T i(t)^2 dt} = \frac{V_{RMS}}{R}=0.177A$

Затем, вычислим тремя различными способами активную мощность, используя RMS-значения напряжения и тока:

$P_{cp1}=V_{RMS}*I_{RMS}=0.125$

$P_{cp2}=\frac{{V_{RMS}}^2}{R}=0.125$

$P_{cp3}={I_{RMS}}^2 \cdot R = 0.125$

Для проверки, вычислим среднюю мощность для временной функции $p(t)$ :

$P_{cp4}(t) = \int\limits_0^T p(t)dt = 0.125$

И, наконец, попробуем формально подойти к задаче, и вычислить номинальную мощность:

$P_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits_0^T p(t)^2 dt} = 0.153$

Полученный результат (0.153Вт) значительно отличается от предыдущих трех (0.125Вт). Это подтверждает некорректность применения последней формулы.

В приведенном выше примере используются синусоидальные напряжение и ток. Но форма напряжения и тока, а также вид нагрузки и возможный фазовый сдвиг фазы принципиально не меняют ситуацию.